Multiplicación y división de numeros enteros. Trucos para multiplicar. Divisibilidad.

Serie: Matemáticas.

Ya vimos el proceso de que se llama a cabo para sumar y restar, ahora llevaremos a cabo el proceso de multiplicación y división de estos números, pero antes veamos estos conceptos.

Multiplicación:  Operación matemática que viene de la suma que consiste en sumar un determinado número la cantidad de  veces que se te pide. Esta operación esta representada por los siguientes signos: 

1.  x  "En aritmética".
 

2.  *  "En computación".

3. "."   "( )"  "{ }" En álgebra.

División: Es la operación contraria a la multiplicación cuyo objetivo es dividir al entero en partes iguales. y es representada por los signos:

1.  ÷ "En aritmética".

2.  /   "En computación".

A multiplicar:

Como puedes observar la multiplicación nos sirve para hacer una suma que se repite. Por ejemplo tenemos el clásico problema de manzanas:

Jaime fue a la recaudería a comprar manzanas, cada kilo cuesta $9, ¿Cuánto dinero pagara Jaime en caso que decide comprar los 4 kilos?

Seguramente te habrás dado cuenta que es una operación larga y cansada;

9+9+9+9 = ?

Se repite y se repite el número 9 por cada kilo, ¿No existirá algo para hacer esto más rápido?

La respuesta es sí. Para eso se invento la multiplicación. Para volver las cosas más fácil y ahorrar tiempo. Y por eso se llego a inventar las tablas de multiplicar. Qué son los resultados de una suma de números que se repite y que nos ayudan a calcular de forma rápida la suma de estos números; aunque también contiene sus trucos y reglas.

Las tablas de multiplicar están basadas en la tablas de Pitágoras que es esta:

 En este caso buscamos multiplicar 9 x 4 = Ya que son 4 kilos que cuestan $9, lo buscamos en la tabla y vemos que 9 por 4 es igual a: 36, y como hablamos de pesos ya que la pregunta dice cuanto vamos a pagar la respuesta es: 36 pesos o $36 que es lo mismo que hacer la suma solo que mucho más rápido.

Y quizás parecen muchos números, pero en realidad son menos de lo que parecen ya que decir 9x4 es lo mismo que 4x9, gracias a la propiedad conmutativa  se vuelve más facil.

Y aprenderse está tabla es fundamental y es requerida a partir de primaria y esta operación lo esta en todo ya que constituya 1 de las 4 operaciones básicas de la aritmética que son: la suma, la resta, la multiplicación y la división que en unos momentos la vamos a analizar.

Trucos para multiplicar:

El primero es la propiedad conmutativa que se refiere a que la multiplicación es lo mismo  y no importa el orden de los números es decir que: 9x4 es lo misma que 4x9 = 36. Lo mismo ocurre al multiplicar 3 números.

Si somos observadores vemos que todo número multiplicado por 0 es igual a 0 que es como decir:

Dame 0 manzanas de $5 o dame 5 manzanas de $0, ¿Cuánto vamos a pagar? $0, por que no es nada. Todo número multiplicado por  0 da 0.

Otra cosa interesante es la tabla de multiplicar del 1, y su regla nos dice que todo número multiplicado por la unidad nos da el mismo. La unidad es el número 1.

Otro dato curioso es la tabla del 2 que siempre se va a sumar 2 veces el numero que este siendo multiplicado. Por ejemplo 2 x 8 que es lo mismo que 8 + 8 = 16.

 

Otro dato curioso a simple vista es la tabla del 10 que como vemos es la misma del 1 sólo que agregamos un 0 al final. Por ejemplo 1 x 8 = 8   y   10 x 8 = 80. Esta regla se utiliza para multiplicar números que terminen en 0 como es el 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 y muchos más, y para multiplicarlos solo ponemos el numero al que deseamos multiplicar y después solo agregamos la cantidad de 0's que tenga el numero que termine en 0.

Por ejemplo: 35 x 1000 = Primero pasamos el número : 35 después agregamos la cantidad de 0's que tenga: 35 con 000 que nos da finalmente 35,000.

Y la tabla del 5 que es la mitad del numero que consiste en agregar  0 al final del número que deseamos multiplicar.

Ejemplo: 7x5 = 35 que es lo mismo que 7x10= 70 y la mitad 35.
 
 Un truco interesante es la tabla del 9 cuyos múltiplos al sumar sus dígitos siempre da como resultado 9 o un múltiplo, que de igual forma al ser sumado da 9 o un múltiplo, así, hasta llegar siempre a un solo dígito, es decir "9".

Y finalmente la del 11 que consiste en la tabla del uno al 9 reproducirlo 2 veces el dígito como: 11x8= 88 y si mayor de 9 hacemos lo siguiente.

Tomamos el ultimo dígito de este y lo ponemos al final del resultado, y al principio el primer dígito y en el centro la suma de ambos o de los dígitos del centro. Es decir solo es cuestión de acomodarlos de esta manera o a la inversa pero siempre los bordes solos, sin ningún numero arriba ni abajo.

Ejemplo de 1 al 9 por 11:

7+11= 77. El 7 se vuelven 2 dígitos como paso con el 11,22,33,44,55,66,77,88,99.

Ejemplo1: 24x11.   Ejemplo 2   67x11.    Ejemplo 3   143x11.    Ejemplo 4   95976x11.

24                                                   67                                143                                 95876
 +24                                                +67                              +143                               +95876
___                                                 ___                              ____                              ______   
264                                                 737                              1573                              1054636

En el primer ejemplo observamos que se coloca el numero arriba y abajo, 2 veces solo que el de abajo lo movemos un espacio a la derecha y la operación se ejecuta normal, los extremos se bajan y los del centro se suman. 

En el segundo ejemplo vemos que al sumar los números del medio nos da 13 así que solo sumamos el 1 a la fila de la izquierda y por eso nos da 7.

En el tercer ejemplo observamos que había 2 cifras en medio, las sumamos normal, y como ninguna suma el resultado fue mayor a 9 solo las sumamos y bajamos los extremos.

 En el cuarto ejemplo sumamos los dígitos del centro y como en las sumas el resultado era mayor a 9 lo pasamos hasta que termino sumando 9 más 1 si se agrego un dígito a la izquierda.

A dividir: 

La división es la operación contraria a la multiplicación y se refiere a partir una cantidad en partes iguales. Esto nos sirve para repartir de forma equitativa.

Por ejemplo:

Emilio tiene 9 dulces y los quieres repartir de forma equitativa (igualitaria) (que a todos les toque la misma cantidad de dulces), entre él y sus 2 amigos. ¿Cuantos dulces le tocaría a cada uno? 

Para resolverlo necesitamos conocer los datos: Tenemos 9 dulces entre 3 personas, es decir él y sus 2 amigos.

Entonces sabemos que es 9÷3.

Solo nos falta resolverlo, y es muy fácil si nos sabemos las tablas de multiplicar o la tabla de Pitágoras.

Qué múltiplo o que multiplicación de 3 te da 9 o se acerca más a 9. Pues es 3x3, ya que el primer 3 lo tomamos de que estamos dividiendo entre 3 y el segundo de que es el múltiplo que nos da nueve, 3x3=9.

Hay 10 oficinas, y 41 trabajadores, si queremos repartir la misma cantidad de trabajadores por oficina ¿Cuantos trabajadores hay en cada oficina? 

En 1er grado en el grupo B hay menos alumnos y alumnas que en el A. Si los nombres de los alumnos y alumnas de Primero son: Camila, Arath, Danna, Jesus, Valmiky, Eduardo,  Paola, Matías, Esteban, Emiliano, Ivonne, Silvia, Juan, Lola, José, Pablo, Tabata, Gereardo, Sofía, María, Hugo, Adrián, Diego, Claudia, Irene, Julia, Iker, Alba, Sara, Valeria, Carla,  Mario y Lucía. Para sacar y ordenar la lista de alumnos decidieron que sería en orden alfabético de la A a la Z de acuerdo con su nombre, también decidieron que la primera de la lista sería mujer, el segundo hombre, la tercera mujer, el cuarto hombre, y así de manera intercalada. Posteriormente, dividieron los alumnos en 2 grupos, la primera mitad de alumnos de la lista al A y la otra mitad al B.

El maestro planteo el siguiente problema para los 2 grupos y ofreció 1 punto el que tuviera la respuesta correcta:

La empresa "El Lapizito" por cada 2 sacapuntas que produce, fabrica 27 lapices, si este año fabrico 3468 sacapuntas y quiere acomodar  en cajas con 6 lapices cada uno, y quiere repartir las cajas entre sus 3 almacenes. Como son demasiadas cajas decidió mandar camionetas para transportar las cajas, si una camioneta transporta 40 cajas ¿Cuántas camionetas tendrán que venir a un almacén si solo pueden realizar un viaje?

Las propuestas fueron:

Del primero A: Propusieron lo siguiente:

Número de lista:          Cantidad de camiones:        Faltan o sobran:
                2                                       60.
                3                                       40.
                5                                       99.
                7                                       39.
                8                                       70.
               11                                      62.
               12                                      65.
               14                                      82.
               17                                      69.

Del primero B: Propusieron lo siguiente:

 Número de lista:            Cantidad de camiones: 
                1                                        67.
                2                                        72.
                4                                        56.
                5                                        66.
                6                                        55.
                9                                        61.
               10                                       83.
               14                                       64.
               15                                       58.
               16.                                      51.

Los demás no terminaron y sólo un alumno tiene la respuesta correcta, escribe el nombre del alumno que gano el punto: _______________________. Y completa la tabla diciendo por cuanto se pasaron o cuanto les falta a sus compañeros para llegar a la respuesta correcta.